Question

已知函數是奇函數，（其中)

(1)求實數m的值；

(2)在時，討論函數f(x)的增減性；

(3)當x時，f(x)的值域是（1，），求n與a的值。

 

Answer 1

【答案】

(1)；(2)與上都是增函數；(3)．

【解析】

試題分析：(1)奇函數對應的是，由此可求出；(2)對函數，判斷它的單調性，應先求出定義域，然后在定義域的兩個區間與上分別用單調性的定義來說明函數的單調性，這里可以先討論對數的真數的單調性，如設，，判斷出這個差是正數后，即得，而由于，則有，于是可得函數在上是遞增的；(3)已知條件是函數的值域是，因此我們可以由值域來求自變量的取值范圍，即，由于，不等式可轉化為，故，這就應該是已知的范圍，從而有，，可得結論．

試題解析：（1）          4分

（2）由（1），定義域為.         5分

討論在上函數的單調性.

任取、，設，令，則，，

所以

因為，，，所以，，

所以.          7分

 又當時，是減函數，所以.由定義知在上函數是增函數.          8分

又因為函數是奇函數，所以在上函數也是增函數.         9分

（3）當時，要使的值域是，則，所以，即，          11分

而，上式化為，又，所以當時，；當時，；          13分

因而，欲使的值域是，必須，所以對上述不等式，當且僅當時成立，所以解得，.           18分

考點：(1)奇函數的定義；(2)函數的單調性；(3)函數的值域與定義域．