Question

已知O（0，0），A（1，2），B（4，5）及

OP

=

OA

+t

AB

，求：
（1）t為何值時，P點在x軸上？P點在y 軸上？P點在第二象限？
（2）是否存在這樣的t值，使四邊形OAPB為平行四邊形？若存在，求出相應的t值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由O（0，0），A（1，2），B（4，5）及

OP

=

OA

+t

AB

，知

OA

=(1，2)，

AB

=(3，3)，

OP

=(1+3t，2+3t)，由此能求出結果．
（2）假設存在這樣的t值，使四邊形OAPB為平行四邊形，則

OP

=

AB

，即1+3t=3，且2+3t=3，不成立．所以存在這樣的t值，使四邊形OAPB為平行四邊形．

解答：解：（1）∵O（0，0），A（1，2），B（4，5）及

OP

=

OA

+t

AB

，
∴

OA

=(1，2)，

AB

=(3，3)，∴

OP

=(1+3t，2+3t)，當P在x軸上時，
∵P在x軸上，則2+3t=0，∴t=-

2

3

；
當P在y軸上時，
∵P在y軸上，則1+3t=0，所以t=-

1

3

；
當P在第二象限時，
∵P在第二象限，則1+3t＜0且2+3t＞0，
所以-

2

3

＜t＜-

1

3

．
（2）假設存在這樣的t值，使四邊形OAPB為平行四邊形，
則

OP

=

AB

，
即1+3t=3，且2+3t=3，
∴t=

2

3

，且t=

1

3

，不成立．
所以不存在這樣的t值，使四邊形OAPB為平行四邊形．

點評：本題考查平面向量的綜合運用，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．