Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞1，b＞0)的焦距為2c，離心率為e，若點（-1，0）與（1，0）到直線

x

a

-

y

b

=1的距離之和s≥

4

5

c，則e的取值范圍是

[

5

2

，

5

]

．

Answer 1

分析：首先將直線

x

a

-

y

b

=1化成一般式的形式：bx-ay-ab=0，再利用點到直線的距離公式分別求出點（-1，0）與（1，0）到直線

x

a

-

y

b

=1的距離，再解這兩個距離的和大于或等于

4

5

c，可得不等式

2

5

c2≤ab，將此式平方，再利用平方關系將b²=c²-a²代入所得不等式，解之可得離心率e的取值范圍．

解答：解：將直線

x

a

-

y

b

=1化成一般式的形式：bx-ay-ab=0
∴點（-1，0）到直線

x

a

-

y

b

=1的距離為d₁=

|-b-ab|

b2+(-a)2

=

|ab+b|

a2+b2

點1，0）到直線

x

a

-

y

b

=1的距離為d₂=

|b-ab|

b2+(-a)2

=

|ab-b|

a2+b2

∵雙曲線中c²=a²+b²，且a＞1
∴d₁=

|ab+b|

a2+b2

=

ab+b

c

，d₂=

|ab-b|

a2+b2

=

ab-b

c

∵點（-1，0）與（1，0）到直線

x

a

-

y

b

=1的距離之和s≥

4

5

c，
∴s=d₁+d₂=

ab+b

c

+

ab-b

c

=

2ab

c

≥

4

5

c
∴

2

5

c2≤ab⇒

4

25

c4≤a2b2
將b²=c²-a²代入上式，得

4

25

c4≤a2(c2-a2)
整理，得4c⁴-25a²c²+25a⁴≤0
兩邊都除以a⁴，得4(

c

a

)4-25(

c

a

)2+25≤ 0
即4e⁴-25e²+25≤0⇒（4e²-5）（e²-5）≤0
∴

5

2

≤e2≤

5

⇒離心率e∈[

5

2

，

5

]
故答案為：[

5

2

，

5

]

點評：本題以求雙曲線離心率的范圍為例，著重考查了雙曲線的基本概念和一些簡單性質，考查了點到直線距離公式和不等式的解法，屬于中檔題．