Question

已知雙曲線的焦點在x軸上，且過點A（1，0）和B（-1，0），P是雙曲線上異于A、B的任一點，如果△APB的垂心H總在雙曲線上，求雙曲線的標準方程．

Answer 1

分析：首先由題意設出雙曲線的標準方程，再由A、B兩點的坐標可得a=1，然后根據△APB的垂心H總在雙曲線上，則由雙曲線的對稱性可得點P、H關于x軸對稱，那么直線PB與直線HA必然互相垂直，因此設出點P的坐標（m，n），進而列出方程組，最后消去參數m、n可解得b，則雙曲線方程解決．

解答：解：依題意設雙曲線的標準方程為

x2

a2

- 

y2

b2

=1，
因為a=1，所以雙曲線的標準方程為x2-

y2

b2

=1．
又△APB的垂心H總在雙曲線上，所以點P、H關于x軸對稱，
設點P的坐標為（m，n），則點H的坐標為（m，-n），
所以

m2 - n2 b2 =1 n m+1 • -n m-1 =-1

，解得b=1，
故雙曲線的標準方程為x²-y²=1．

點評：本題考查雙曲線的標準方程與性質，同時考查三角形垂心的概念、直線垂直的性質及解方程組的能力．