Question

點O是三角形ABC所在平面內的一點，滿足(

OA

)•(

OB

)=(

OB

)•(

OC

)=(

OC

)•(

OA

)，則點O是△ABC的

 

心．

Answer 1

分析：由

OA

•

OB

=

OB

•

OC

得到 (

OB

)•(

CA

)=0，根據向量數量積為零可得OB⊥AC，同理得到OA⊥BC，所以點O是△ABC的三條高的交點，從而根據垂心的定義可得結論．

解答：解：(

OA

)•(

OB

)=(

OB

)•(

OC

)，
(

OB

)•(

OA

)-(

OB

)•(

OC

)=0，
即(

OB

)•(

OA

)-(

OC

)）=0，
(

OB

)•(

CA

)=0，
∴(

OB

)⊥(

CA

)．
同理可得(

OA

)⊥(

BC

)，(

OC

)⊥(

AB

)．
∴O是三角形三條高線的交點．
故答案為：垂

點評：本題考查向量的數量積及向量的運算，對學生有一定的能力要求，屬于基礎題．