Question

若矩形ABCD的兩條對角線的交點為M（2，0），AB邊所在直線方程為x-3y-6=0，點N（-1，1）在AD邊所在直線上，則矩形ABCD外接圓的標準方程為

 

．

Answer 1

分析：由矩形的性質得到直線AD與直線AB垂直，因為兩直線垂直時斜率的乘積為-1，所以由直線AB的斜率得到直線AD的斜率，又直線AD過點N，由N的坐標和求出的直線AD的斜率寫出直線AD的方程，與直線AB的方程聯立即可求出點A的坐標，然后利用兩點間的距離公式求出|AM|的長即為矩形外接圓的半徑，根據矩形的性質得到矩形外接圓的圓心即為點M，根據圓心和半徑寫出圓的標準方程即可．

解答：解：由題意得：AD⊥AB，又直線AB方程為x-3y-6=0，斜率為

1

3

，
所以直線AD的斜率為3，又直線AD過N（-1，1），
則直線AD的方程為y-1=3（x+1），即3x+y+2=0，
聯立得：

3x+y+2=0 x-3y-6=0

，解得：

x=0 y=-2

，
所以點A的坐標為（0，-2），又M（2，0），
則|AM|=

(0-2)2+(-2-0)2

=2

2

，又矩形的外接圓的圓心為M（2，0），
∴圓M的方程為：（x-2）²+y²=8．
故答案為：（x-2）²+y²=8

點評：此題考查學生掌握矩形的性質及兩直線垂直時斜率的關系，靈活運用兩點間的距離公式化簡求值，會根據圓心和半徑寫出圓的標準方程，是一道中檔題．