Question

如圖，矩形ABCD的兩條對角線相交于點M（2，0），AB邊所在直線的方程為x-3y-6=0點T（-1，1）在AD邊所在直線上．
（Ⅰ）求AD邊所在直線的方程；
（Ⅱ）求矩形ABCD外接圓的方程；
（Ⅲ）若動圓P過點N（-2，0），且與矩形ABCD的外接圓外切，求動圓P的圓心的軌跡方程．

Answer 1

分析：（I）先由AD與AB垂直，求得AD的斜率，再由點斜式求得其直線方程；
（II）先求得其圓心和半徑，再由圓的標準方程求解；
（III）由圓心距等于兩半徑之和，抽象出雙曲線的定義從而求得軌跡方程．

解答：解：（I）因為AB邊所在直線的方程為x-3y-6=0，且AD與AB垂直，所以直線AD的斜率為-3
又因為點T（-1，1）在直線AD上，
所以AD邊所在直線的方程為y-1=-3（x+1）．
3x+y+2=0．

（II）由

x-3y-6=0 3x+y+2=0

解得點A的坐標為（0，-2），
因為矩形ABCD兩條對角線的交點為M（2，0）．
所以M為矩形ABCD外接圓的圓心．
又|AM|=

(2-0)2+(0+2)2

=2

2

．
從而矩形ABCD外接圓的方程為（x-2）²+y²=8．

（III）因為動圓P過點N，所以|PN|是該圓的半徑，又因為動圓P與圓M外切，
所以|PM|=|PN|+2

2

，
即|PM|-|PN|=2

2

．
故點P的軌跡是以M，N為焦點，實軸長為2

2

的雙曲線的左支．
因為實半軸長a=

2

，半焦距c=2．
所以虛半軸長b=

c2-a2

=

2

．
從而動圓P的圓心的軌跡方程為

x2

2

-

y2

2

=1(x≤-

2

)．

點評：本題主要考查直線方程的求法，平面圖形外接圓的求法和軌跡方程的求法．