Question

【題目】“累積凈化量（CCM）”是空氣凈化器質量的一個重要衡量指標，它是指空氣凈化器從開始使用到凈化效率為50%時對顆粒物的累積凈化量，以克表示．根據GB/T18801﹣2015《空氣凈化器》國家標準，對空氣凈化器的累積凈化量（CCM）有如下等級劃分：

累積凈化量（克）	（3，5]	（5，8]	（8，12]	12以上
等級	P1	P2	P3	P4

為了了解一批空氣凈化器（共2000臺）的質量，隨機抽取n臺機器作為樣本進行估計，已知這n臺機器的
累積凈化量都分布在區間（4，14]中，按照（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]，（12，14]，均勻分組，其中累積凈化量在（4，6]的所有數據有：4.5，4.6，5.2，5.7和5.9，并繪制了如下頻率分布直方圖．

（Ⅰ）求n的值及頻率分布直方圖中的x值；
（Ⅱ）以樣本估計總體，試估計這批空氣凈化器（共2000臺）中等級為P2的空氣凈化器有多少臺？
（Ⅲ）從累積凈化量在（4，6]的樣本中隨機抽取2臺，求恰好有1臺等級為P2的概率．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵在（4，6]之間的數據一共有6個，

再由頻布直方圖得：落在（4，6]之間的頻率為0.03×2=0.06，

∴n= =100，

由頻率分布直方圖的性質得：

（0.03+x+0.12+0.14+0.15）×2=1，

解得x=0.06．

（Ⅱ）由頻率分布直方圖可知：落在（6，8]之間共：0.12×2×100=24臺，

又∵在（5，6]之間共4臺，

∴落在（5，8]之間共28臺，

∴估計這批空氣凈化器（共2000臺）中等級為P2的空氣凈化器有560臺．

（Ⅲ）設“恰好有1臺等級為P2”為事件B，

依題意落在（4，6]之間共6臺，屬于國標P2級的有4臺，

則從（4，6]中隨機抽取2臺，基本事件總數n= ，

事件B包含的基本事件個數m= =8，

∴恰好有1臺等級為P2的概率P（B）=

【解析】（Ⅰ）先求出在（4，6]之間的數據一共有6個，再由頻布直方圖得：落在（4，6]之間的頻率為0.03×2=0.06，由此能求出n的值及頻率分布直方圖中的x值．（Ⅱ）由頻率分布直方圖可知：落在（6，8]之間共24臺，在（5，6]之間共4臺，從而落在（5，8]之間共28臺，由此能估計這批空氣凈化器（共2000臺）中等級為P2的空氣凈化器有多少臺．（Ⅲ）設“恰好有1臺等級為P2”為事件B，依題意落在（4，6]之間共6臺，屬于國標P2級的有4臺，則從（4，6]中隨機抽取2臺，基本事件總數n= ，事件B包含的基本事件個數m= =8，由此能求出恰好有1臺等級為P2的概率．
【考點精析】通過靈活運用頻率分布直方圖，掌握頻率分布表和頻率分布直方圖，是對相同數據的兩種不同表達方式.用緊湊的表格改變數據的排列方式和構成形式，可展示數據的分布情況.通過作圖既可以從數據中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息即可以解答此題．