Question

已知在橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)中，F₁（-c，0）（c＞0）是橢圓的左焦點，A（a，0），B（0，b）分別是橢圓的右頂點和上頂點，點O是橢圓的中心．又點P在橢圓上，且滿足條件：OP∥AB，點H是點P在x軸上的投影．
（Ⅰ）求證：當a取定值時，點H必為定點；
（Ⅱ）如圖所示，當點P在第二象限，以OP為直徑的圓與直線AB相切，且四邊形ABPH的面積等于3+

2

，求橢圓的標準方程．

Answer 1

分析：（I）由kAB=-

b

a

，OP∥AB，得lOP：y=-

b

a

x，代入橢圓方程

x2

a2

+

y2

b2

=1，得x2=

a2

2

，由此能夠證明為定值，點H必為定點．
（II）當點P在第二象限，點O到直線AB的距離等于

1

2

|OP|，由條件設直線AB的方程為：

x

a

+

y

b

=1，則點O到直線AB的距離為d=

ab

a2+b2

，由P(-

2

2

a，

2

2

b)，知|OP|=

2a2+2b2

2

，從而

ab

a2+b2

=

2a2+2b2

4

，由四邊形ABPH的面積等于3+

2

，知S_ABPH=S_△ABO+S_OBPH=

1

2

ab+

1

2

×(

2

2

b+b)×

2

2

a=

3+ 2

4

ab=3+

2

．由此能夠求出橢圓的標準方程．

解答：解：（I）由kAB=-

b

a

，OP∥AB，得lOP：y=-

b

a

x，代入橢圓方程

x2

a2

+

y2

b2

=1，得x2=

a2

2

，即x=±

2

2

a，
由y=-

b

a

x，得P點的坐標為(-

2

2

a，

2

2

b)或(

2

2

a，-

2

2

b)，（3分）
∵PH⊥x軸，∴H(-

2

2

a，0)或H(

2

2

a，0)，
∵a為定值，∴點H必為定點．（6分）

（II）當點P在第二象限，以OP為直徑的圓與直線AB相切，
即等價于點O到直線AB的距離等于

1

2

|OP|，（8分）
由條件設直線AB的方程為：

x

a

+

y

b

=1，
則點O到直線AB的距離為d=

ab

a2+b2

，
又由（I）可知P(-

2

2

a，

2

2

b)，所以|OP|=

2a2+2b2

2

，
從而

ab

a2+b2

=

2a2+2b2

4

，即a2+b2=2

2

ab①（10分）
又四邊形ABPH的面積等于3+

2

，
則S_ABPH=S_△ABO+S_OBPH
=

1

2

ab+

1

2

×(

2

2

b+b)×

2

2

a=

3+ 2

4

ab=3+

2

整理得ab②（12分）
由①②解得a2=4(

2

+1)，b2=4(

2

-1)
所以所求橢圓的標準方程為

x2

4( 2 +1)

+

y2

4( 2 -1)

=1．（14分）

點評：本題考查圓與圓錐曲線的綜合運用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．