Question

已知過橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）右焦點F且斜率為1的直線交橢圓C于A，B兩點，N為弦AB的中點；又函數y=asinx+3bcosx圖象的一條對稱軸的方程是x=

π

6

．（1）求橢圓C的離心率e與直線AB的方程；（2）對于任意一點M∈C，試證：總存在角θ（θ∈R）使等式

OM

=cosθ

OA

+sinθ

OB

成立．

Answer 1

分析：（1）通過函數圖象的一條對稱軸的方程是x=

π

6

．推出f（

π

6

-x）=f（

π

6

+x），利用取x=

π

6

，整理得a=

3

b，求出離心率，求出焦點坐標然后求出直線方程；
（2））利用

OA

與

OB

是平面內的兩個不共線的向量，由平面向量的基本定理，表示

OM

=λ

OA

+μ

OB

，設M（x，y），通過坐標運算，推出x=λx₁+μx₂，y=λy₁+μy₂．代入橢圓方程，推出x₁x₂+3y₁y₂=0，由A，B兩點在橢圓上，整理出λ²+μ²=1．根據圓的參數方程可知，總存在角θ，θ∈R使等式

λ=cosθ μ=sinθ

成立，就是

OM

=cosθ

OA

+sinθ

OB

成立．
得到結論．

解答：解：（1）函數y=asinx+3bcosx圖象的一條對稱軸的方程是x=

π

6

．所以對任意的實數x都有f（

π

6

-x）=f（

π

6

+x），
取x=

π

6

得f（0）=f（

π

3

），整理得a=

3

b，
則橢圓的方程為x²+3y²=3b²…①．
于是橢圓C的離心率e=

c

a

=

a2-b2

a

=

1-( b a )2

=

1-( 1 3 )2

=

6

3

．
又橢圓的右焦點F（

2

b，0）
因為過橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）右焦點F且斜率為1的直線，
∴直線AB的方程為：y=x-

2

b．
（2）

OA

與

OB

是平面內的兩個不共線的向量，由平面向量的基本定理，對于這一平面內的向量

OM

，有且只有一對實數λ，μ．使得

OM

=λ

OA

+μ

OB

成立．
設M（x，y），則（x，y）=λ（x₁，y₁）+μ（x₂+y₂）．
∴x=λx₁+μx₂，y=λy₁+μy₂．
又M∈C，代入①式得（λx₁+μx₂）²+3（λy₁+μy₂）²=3b²，
展開整理得λ²（x₁²+3y₁²）+μ²（x₂²+3y₂²）+2λμ（x₁x₂+3y₁y₂）=3b²…②
由AB的方程可知x₁x₂+3y₁y₂=x1x2+3 (x1-

2

b)   (x2-

2

b)
=4x1x2-3

2

b(x1+x2)+6b2=3b²-9b²+6b²=0．
由A，B兩點在橢圓上，所以x₁²+3y₁²=3b²．x₂²+3y₂²=3b²．
代入②式化簡得λ²+μ²=1．
根據圓的參數方程可知，總存在角θ，θ∈R使等式

λ=cosθ μ=sinθ

成立．
即：

OM

=cosθ

OA

+sinθ

OB

成立．
綜上所述，對于任意一點M∈C，總存在角θ（θ∈R）使等式

OM

=cosθ

OA

+sinθ

OB

成立．

點評：本題要求學生熟練運用構造角化簡三角函數asinx+3bcosx，并熟練應用直線與圓錐曲線相交弦問題的解題方程，能夠靈活運用設點法、韋達定理整體思想．簡化運算：熟練運用平面向量基本定理和向量的坐標運算．考查計算能力，轉化思想．