Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）是否存在正整數，使得在上恒成立？若存在，求出的最大值并給出推導過程，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（I）求出， ， ，利用導數的幾何意義以及點斜式可得曲線在點處的切線方程；（II）先根據時，可得，所以若存在，則正整數的值只能取， ， 時，利用導數研究函數的單調性，可證明不等式恒成立，從而可得的最大值.

試題解析：（Ⅰ）依題意

則， ，

故所求切線方程為.

（Ⅱ）依題意， ，故，

故對一切恒成立，

當時，可得，所以若存在，則正整數的值只能取， .

下面證明當時，不等式恒成立，

設，則，

易知（），當時， ；當時， .

即在上是減函數，在上是增函數，

所以，

當時，不等式恒成立，所以的最大值是.

【方法點晴】本題主要考查利用導數求曲線切線以及利用導數研究函數的單調性以及不等式恒成立問題，屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導數，即在點 出的切線斜率（當曲線在處的切線與軸平行時，在 處導數不存在，切線方程為）；（2）由點斜式求得切線方程.