Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率為，動點在橢圓上，的周長為6．

（1）求橢圓的方程；

（2）設直線與橢圓的另一個交點為，過分別作直線的垂線，垂足為與軸的交點為．若四邊形的面積是面積的3倍，求直線斜率的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根據橢圓的離心率和焦點三角形的周長建立方程求出a，c的值即可；

（2）先設出直線PQ的方程為x=my+1，聯立方程組得出根與系數關系，利用四邊形PMNQ的面積是△PQT面積的3倍，得出t關于m的表達式，由t＞2建立不等式，解出m的取值范圍，進而根據 得出k的取值范圍．

（1）因為P是E上的點，且F1，F2為E的左、右焦點，所以|PF1|+|PF2|=2a，

又因為|F1F2|=2c，△PF1F2的周長為6，所以2a+2c=6，

又因為橢圓的離心率為，所以，解得a=2，c=1．所以，

E的方程為．

（2）依題意，直線PQ與x軸不重合，故可設直線PQ的方程為x=my+1，

由，消去x得：（3m2+4）y2+6my-9=0，

設P（x1，y1），Q（x2，y2）則有△＞0且．

設四邊形PMNQ的面積和△PQT面積的分別為S1，S2，

則S1=3S2，又因為，S2=．

所以，

即3（t-1）=2t-（x1+x2），得t=3-（x1+x2），

又x1=my1+1，x2=my2+1，于是t=3-（my1+my2+2）=1-m（y1+y2），

所以，由t＞2得，解得，

設直線PQ的斜率為k，則，所以，

解得，

所以直線PQ斜率的取值范圍是．