Question

眉山市某中學(xué)有三位同學(xué)利用周末到東坡湖公園游玩，由于時(shí)間有限，三人商定在已圈定的10個(gè)娛樂項(xiàng)目中各自隨機(jī)的選擇一項(xiàng)體驗(yàn)（選擇每個(gè)項(xiàng)目的可能性相同）
（Ⅰ）求三人中恰好有兩人選擇同一項(xiàng)目體驗(yàn)的概率；
（Ⅱ）若10個(gè)項(xiàng)目中包括了滑旱冰、激流勇進(jìn)、劃船項(xiàng)目，求三名同學(xué)選擇這三個(gè)項(xiàng)目的人員個(gè)數(shù)ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）記“三人中恰有兩人選擇同一項(xiàng)目體驗(yàn)”為事件A，依題意每人選擇每個(gè)項(xiàng)目的概率均為，由此能求出三人中恰好有兩人選擇同一項(xiàng)目體驗(yàn)的概率；
（Ⅱ）依題意ξ=0，1，2，3，而每個(gè)人選中滑旱冰、激流勇進(jìn)、劃船項(xiàng)目的概率為，選中其它項(xiàng)目的概率，將三個(gè)同學(xué)選擇項(xiàng)目看作是三次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，則P（ξ=0）=（）³=，P（ξ=1）=C₃¹××（）²=，
P（ξ=2）=C₃²×（）²×=，P（ξ=3）=C₃³×（）³=，由此能求出ξ的分布列和期望．
解答：解：（Ⅰ）記“三人中恰有兩人選擇同一項(xiàng)目體驗(yàn)”為事件A，依題意每人選擇每個(gè)項(xiàng)目的概率均為 （2分）
則P（A）=C₁₀¹C₃²×（）²×（）¹= （5分）
（Ⅱ）依題意ξ=0，1，2，3，而每個(gè)人選中滑旱冰、激流勇進(jìn)、劃船項(xiàng)目的概率為，選中其它項(xiàng)目的概率，將三個(gè)同學(xué)選擇項(xiàng)目看作是三次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，（6分）
則P（ξ=0）=（）³=，P（ξ=1）=C₃¹××（）²=，
P（ξ=2）=C₃²×（）²×=，P（ξ=3）=C₃³×（）³= （10分）
∴ξ的分布列為

∴Eξ=0×+1×+2×+3×=0.9．（12分）
點(diǎn)評：本題考查離散型隨機(jī)變量的期望和方差，解題時(shí)要注意n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)恰好發(fā)生k次的概率公式的靈活運(yùn)用．