Question

（2013•天津模擬）設函數f（x）=

a

x

+xlnx，g（x）=x³-x²-3．
（Ⅰ）討論函數h(x)=

f(x)

x

的單調性；
（Ⅱ）如果存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，求滿足上述條件的最大整數M；
（Ⅲ）如果對任意的s，t∈[

1

2

，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導函數，分類討論，利用導數的正負，即可確定函數的單調區間；
（Ⅱ）如果存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，等價于：[g（x₁）-g（x₂）]_max≥M，求出函數的最值，即可求滿足條件的最大整數M；
（Ⅲ）當x∈[

1

2

，2]時，f(x)=

a

x

+xlnx≥1恒成立，等價于a≥x-x²lnx恒成立，求右邊的最值，即可得到結論．

解答：解：（Ⅰ）h(x)=

a

x2

+lnx，h′(x)=-

2a

x3

+

1

x

=

x2-2a

x3

，…（1分）
①a≤0，h'（x）≥0，函數h（x）在（0，+∞）上單調遞增…（2分）
②a＞0，h′(x)≥0，x≥

2a

，函數h（x）的單調遞增區間為(

2a

，+∞)，h′(x)≤0，0＜x≤

2a

，函數h（x）的單調遞減區間為(0，

2a

)…（4分）
（Ⅱ）存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，等價于：[g（x₁）-g（x₂）]_max≥M，…（5分）
考察g（x）=x³-x²-3，g′(x)=3x(x-

2

3

)，…（6分）

x	0	(0， 2 3 )	2 3	( 2 3 ，2)	2
g′（x）	0	-	0	+
g（x）	-3	遞減	極（最）小值- 85 27	遞增	1

…（8分）
由上表可知：g(x)min=g(

2

3

)=-

85

27

，g(x)max=g(2)=1，
∴[g（x₁）-g（x₂）]_max=g（x）_max-g（x）_min=

112

27

，…（9分）
所以滿足條件的最大整數M=4；…（10分）
（Ⅲ）當x∈[

1

2

，2]時，f(x)=

a

x

+xlnx≥1恒成立，等價于a≥x-x²lnx恒成立，…（11分）
記h（x）=x-x²lnx，所以a≥h_max（x）
又h′（x）=1-2xlnx-x，則h′（1）=0．
記h'（x）=（1-x）-2lnx，x∈[

1

2

，1)，1-x＞0，xlnx＜0，h'（x）＞0
即函數h（x）=x-x²lnx在區間[

1

2

，1)上遞增，
記h'（x）=（1-x）-2lnx，x∈（1，2]，1-x＜0，xlnx＞0，h'（x）＜0
即函數h（x）=x-x²lnx在區間（1，2]上遞減，
∴x=1，h（x）取到極大值也是最大值h（1）=1…（13分）
∴a≥1…（14分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與最值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．