Question

（2013•天津模擬）在平行四邊形ABCD中，

AE

=

EB

，

CF

=2

FB

，連接CE、DF相交于點M，若

AM

=λ

AB

+μ

AD

，則實數λ與μ的乘積為（　　）

• A．

  1

  4

• B．

  3

  8

• C．

  3

  4

• D．

  4

  3

Answer 1

分析：由題意可得

AM

=2（λ-μ）

AE

+μ

AC

，由E、M、C三點共線，可得2λ-μ=1，①同理可得

AM

=λ

AF

+(μ-

1

3

λ)

AD

，由D、M、F三點共線，可得

2

3

λ+μ=1，②，綜合①②可得數值，作乘積即可．

解答：解：由題意可知：E為AB的中點，F為BC的三等分點（靠近B）
故

AM

=λ

AB

+μ

AD

=λ

AB

+μ

BC

=λ

AB

+μ(

AC

-

AB

)
=（λ-μ）

AB

+μ

AC

=2（λ-μ）

AE

+μ

AC

，
因為E、M、C三點共線，故有2（λ-μ）+μ=1，即2λ-μ=1，①
同理可得

AM

=λ

AB

+μ

AD

=λ(

AF

+

FB

)+μ

BC

=λ

AF

-

1

3

λ

AD

+μ

AD

=λ

AF

+(μ-

1

3

λ)

AD

，
因為D、M、F三點共線，故有λ+（μ-

1

3

λ）=1，即

2

3

λ+μ=1，②
綜合①②可解得λ=

3

4

，μ=

1

2

，故實數λ與μ的乘積

3

4

×

1

2

=

3

8

故選B

點評：本題考查平面向量基本定理即意義，涉及三點共線的結論，屬中檔題．