Question

一動圓與圓外切，與圓內切.
(1)求動圓圓心的軌跡的方程；
(2)設過圓心的直線與軌跡相交于、兩點，請問（為圓的圓心）的內切圓的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及直線的方程，若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）．
(2)存在直線,的內切圓M的面積最大值為

1）設動圓圓心為，半徑為．
由題意，得，，．    …………3分
由橢圓定義知在以為焦點的橢圓上，且，
．
動圓圓心M的軌跡的方程為．……6分
(2) 如圖,設內切圓N的半徑為,與直線的切點為C，

則三角形的面積
=
當最大時,也最大, 內切圓的面積也最大, …………7分
設、(),則, ……8分
由,得,
解得,,   …………10分
∴,令,則,且,
有,令,則,
當時,,在上單調遞增,有,,
即當,時,有最大值,得,這時所求內切圓的面積為,
∴存在直線,的內切圓M的面積最大值為.          …………14分