Question

已知數列{a_n}的各項為正數，其前n項和sn滿足sn=(

an+1

2

)2，b_n=10-a_n（n∈N）
（1）求證：數列{a_n}是等差數列，并求{a_n}的通項公式；
（2）設數列{b_n}的前n項和為T_n，求T_n的最大值．

Answer 1

分析：（1）當n=1時，易求a₁=1；當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1⇒a_n-a_n-1=2，從而可知數列{a_n}是首項為1，公差為2的等差數列，從而可求{a_n}的通項公式；
（2）由（1）知a_n=2n-1，而b_n=10-a_n，可求b_n=-2n+11，利用等差數列的求和公式即可求得T_n，即可求T_n的最大值．

解答：解：（1）當n=1時，a₁=S₁=(

a1+1

2

)2，
∴a₁=1；
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=(

an+1

2

)2-(

an-1+1

2

)2，
即：an2-an-12-2a_n-2a_n-1=0，
∴an2-2a_n+1=an-12+2a_n-1+1，
∴(an-1)2=(an-1+1)2，
∴a_n-1=a_n-1+1，
∴a_n-a_n-1=2，
∴數列{a_n}是首項為1，公差為2的等差數列，
∴a_n=2n-1．
（2）∵b_n=10-a_n=-2n+11，b₁=9，
∴b_n-b_n-1=-2，
∴數列{b_n}是首項為9，公差為-2的等差數列，
∴T_n=

n(b1+bn)

2

=-n²+10n=-（n-5）²+25，
∴當n=5時，T_nmax=25．

點評：本題考查數列的求和，著重考查等差關系的確定及其通項公式、求和公式的應用，考查推理與運算能力，屬于中檔題．