Question

【題目】已知函數，曲線在點處的切線方程為.

（1）求， 的值；

（2）當時， 恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) , ;(2) 實數的取值范圍是.

【解析】試題分析：（1）求出，由， 可求得， 的值；（2）恒成立等價于. 設，利用導數研究函數的單調性，討論可證明證明當時， 恒成立，當時，不合題意，從而可得結果.

試題解析：（1）函的定義域為，

，

把代入方程中，得，

即，∴，

又因為，∴，

故.

（2）由（1）可知，當時，

恒成立等價于.

設，

則

，

由于，

當時， ，則在上單調遞增，

恒成立.

當時，設,則.

則為上單調遞增函數，

又由.

即在上存在，使得，

當時， 單調遞減，

當時， 單調遞增；

則，不合題意，舍去.

綜上所述，實數的取值范圍是.