Question

設f（x）=3ax²+2bx+c．若a+b+c=0，f（0）＞0，f（1）＞0，求證：
（Ⅰ）a＞0且-2＜

b

a

＜-1；
（Ⅱ）方程f（x）=0在（0，1）內有兩個實根．

Answer 1

分析：（I）先將f（0）＞0，f（1）＞0，利用函數式中的a，b，c進行表示，再結合等式關系利用不等式的基本性質即可得到a和

a

b

的范圍即可．
（II）欲證明方程f（x）=0在（0，1）內有兩個實根，根據根的存在性定理，只須證明某一個函數值小于0即可，最后只須證明在二次函數頂點處的函數值小于0即可．

解答：解：證明：（I）因為f（0）＞0，f（1）＞0，
所以c＞0，3a+2b+c＞0．
由條件a+b+c=0，消去b，得a＞c＞0；
由條件a+b+c=0，消去c，得a+b＜0，2a+b＞0．
故-2＜

b

a

＜-1．
（II）拋物線f（x）=3ax²+2bx+c的頂點坐標為(-

b

3a

，

3ac-b2

3a

)，
在-2＜

b

a

＜-1的兩邊乘以-

1

3

，得

1

3

＜-

b

3a

＜

2

3

．
又因為f（0）＞0，f（1）＞0，
而f(-

b

3a

)=-

a2+c2-ac

3a

＜0，
所以方程f（x）=0在區間(0，-

b

3a

)與(-

b

3a

，1)內分別有一實根．
故方程f（x）=0在（0，1）內有兩個實根．

點評：本題主要考查二次函數的基本性質與不等式的應用等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．