Question

設f（x）=3ax²+2bx+c，若a+b+c=0，f（0）f（1）＞0，求證：
（Ⅰ）方程f（x）=0有實根．
（Ⅱ）-2＜

a

b

＜-1；設x₁，x₂是方程f（x）=0的兩個實根，則.

3

3

≤|x1-x2|＜

2

3

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）針對a進行分類討論，若a=0，f（0）f（1）≤0顯然與條件矛盾，a≠0時，f（x）=3ax²+2bx+c為二次函數，只需考慮判別式即可；
（Ⅱ）利用根與系數的關系將（x₁-x₂）²轉化成關于

b

a

的二次函數，根據

b

a

的范圍求出值域即可．

解答：證明：（Ⅰ）若a=0，則b=-c，
f（0）f（1）=c（3a+2b+c）=-c²≤0，
與已知矛盾，
所以a≠0．
方程3ax²+2bx+c=0的判別式△=4（b²-3ac），
由條件a+b+c=0，消去b，得△=4（a²+c²-ac）=4[(a-

1

2

c)2+

3

4

c2]＞0
故方程f（x）=0有實根．
（Ⅱ）由條件，知x1+x2=-

2b

3a

，x1•x2=

c

3a

=-

a+b

3a

，
所以（x₁-x₂）²=（x₁-x₂）²-4x₁x₂=

4

9

(

b

a

+

3

2

)2+

1

3

．
因為-2＜

b

a

＜-1，
所以

1

3

≤(x1-x2)2＜

4

9

故

3

3

≤|x1-x2|＜

2

3

點評：本題主要考查二次函數的基本性質、不等式的基本性質與解法，以及綜合運用所學知識分析和解決問題的能力．