Question

在△ABC中，BC=6，BC邊上的高為2，則

AB

•

AC

的最小值為

-5

．

Answer 1

分析：如圖所示，根據

AB

•

AC

=

AB

•（

AD

+

DC

），利用兩個向量的數量積的定義化為 |

AD

|2-|

BD

|•|

DC

|．令|

DC

|=x，則|

BD

|=6-x，

AB

•

AC

=2²-（6-x）x=x²-6x+4，再利用二次函數的性質求得它的最小值．

解答：解：如圖所示，設BC邊上的高為AD，∵

AC

=

AD

+

DC

，
∴

AB

•

AC

=

AB

•（

AD

+

DC

）=

AB

•

AD

+

AB

•

DC

=
|

AB

|•|

AD

|cosα+|

AB

|•|

DC

|•cos（π-B）=|

AD

|2+（-|

BD

|•|

DC

|）
=|

AD

|2-|

BD

|•|

DC

|．
令|

DC

|=x，0＜x＜6，則|

BD

|=6-x，
∴則

AB

•

AC

=2²-（6-x）x=x²-6x+4，
故當x=3時，則

AB

•

AC

 取得最小值為 9-18+4=-5，
故答案為-5．

點評：本題主要考查平面向量基本定理及其幾何意義，兩個向量的數量積的定義，二次函數的性質，體現了數形結合的數學思想，屬于中檔題．