Question

【題目】已知函數f（x）=﹣ x2+（a﹣1）x+lnx．
（1）若a＞﹣1，求函數f（x）的單調區間；
（2）若g（x）= x2+（1﹣2a）x+f（x）有且只有兩個零點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=﹣ x2+（a﹣1）x+lnx，（x＞0），

f′（x）=﹣ax+（a﹣1）+ = ，

0＜﹣a＜1即﹣1＜a＜0時，﹣ ＞1，

令f′（x）＞0，解得：x＞﹣ 或0＜x＜1，

令f′（x）＜0，解得：1＜x＜﹣ ，

∴f（x）在（0，1）遞增，在（1，﹣ ）遞減，在（﹣ ，+∞）遞增，

﹣a≤0即a≥0時，﹣ax﹣1＜0，

令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，

∴f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減；

（2）解：若g（x）= x2+（1﹣2a）x+f（x）有且只有兩個零點，

即lnx=ax有且只有兩個零點，

即h（x）=lnx，y=ax有且只有2個交點，

由h（x）=lnx的圖象與直線y=ax有兩交點

可知；a＞0，

當直線與h（x）=lnx相切時，設切點（x0，lnx0）

∵h′（x）= ，

∴根據切線的斜率與導數值的關系可知： =a，即x0= ，

代入直線方程可得；ln =1，解得：a= ，

所以函數h（x）=lnx的圖象與直線y=ax有兩交點，

則0＜a＜

【解析】（1）求出函數的導數，通過討論a的范圍，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；（2）由h（x）=lnx的圖象與直線y=ax有兩交點可知；a＞0，再根據導數求出切線的斜率，即可求出有2個交點時a的范圍．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能正確解答此題．