Question

設A∪B∪C={1，2，3，4，5}，且A∩B={1，3}，符合此條件的（A、B、C）的種數

500

．

Answer 1

分析：由A∩B={1，3}，A∪B∪C={1，2，3，4，5}，知A∪B包含著{1，3}．然后進行分類討論求解符合此條件的（A、B、C）的種數．

解答：解：A∩B={1，3}，A∪B∪C={1，2，3，4，5}，
A∪B包含著{1，3}．
下面分類討論．
若除了元素1，3之外，A∪B還包含包含了k個元素，k=0，1，2，3．
表面上看起來分類討論很麻煩，但實際上核心的東西就是兩個事情：
1．先看這k個元素．
這k個元素是從剩下的{2，4，5}中選擇出來的k個，C₃^k種．
每個這樣的元素都是恰好屬于A，B之一，2^k種．
所以，對于A，B而言，就有C₃^k×2^k種方法．
2．再考慮1，3以及那另外的k個元素是否在C中（其余的就不用考慮了，他們必然在C中），
顯然有2^k+2種方式．
結合1，2，就知道這樣的A，B，C的選法有n（k）=C₃^k•2^k•2^k+2種．
∴符合此條件的（A、B、C）的種數=4+C₃¹•2•2³+C₃²•2²•2⁴+2³•2⁵ 
=4+48+192+256=500．
故答案為：500．

點評：本題考查集合的混合運算，解題時要認真審題，仔細解答，注意分類討論思想和組合性質的靈活運用．