Question

已知函數
（I）求函數的極值；
（II）對于函數和定義域內的任意實數,若存在常數,使得不等式和都成立,則稱直線是函數和的“分界線”．
設函數，，試問函數和是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程．若不存在請說明理由．

Answer 1

（I）,無極大值；（II）函數和存在“分界線”，方程為．

試題分析：（I）首先求函數的定義域，解方程得可能的極值點，進一步得的單調性，最后根據導函數在零點附近的變號情況求的極值；（II）函數和的圖象在處有公共點.設函數和存在“分界線”，方程為，由對任意恒成立，確定常數，從而得“分界線”的方程為，再證明在時也恒成立，最后確定函數和的“分界線”就是直線．
試題解析：（I）．
令得，
所以在上單調遞減，上單調遞增，
又，
所以,無極大值.  
（II）由（I）知，
所以函數和的圖象在處有公共點.  
設函數和存在“分界線”，方程為，
應有對任意恒成立，即在時恒成立，
于是，得，
則“分界線”的方程為． 
記，則
令得，所以在上單調遞增，上單調遞減，
當時，函數取得最大值，即在時恒成立.  
綜上所述，函數和存在“分界線”，方程為 ……