Question

在△ABC中，a=1，b=

ex-e-x

2

，c=

ex+e-x

2

（x＞0，e=2.71828…））．
（1）求△ABC的最大角；
（2）試比較a^m+b^m與c^m（m∈R）的大小．

Answer 1

考點：余弦定理

專題：三角函數的求值

分析：（1）利用基本不等式求出c的最小值，利用作差法比較b與c的大小，判斷出C為最大值，根據余弦定理表示出cosC，即可確定出C的度數；
（2）由C為直角，利用勾股定理列出關系式，利用銳角三角函數定義表示出a與b，進而表示出a^m+b^m，分m＜2；m=2；m＞2三種情況比較a^m+b^m與c^m（m∈R）的大小即可．

解答： 解：（1）∵c=

ex+e-x

2

≥

2 ex•e-x

2

=1=a，
b-c=-e^x＜0，即b＜c．
∴c所對的角C是△ABC的最大角，
∵cosC=

12+( ex-e-x 2 )2-( ex+e-x 2 )2

ex-e-x

=0，
∴C=90°；
（2）∵C=90°，
∴a²+b²=c²，
∴a=c•sinA，b=c•cosA，
∴a^m+b^m=c^m（sin^mA+cos^mA），
分三種情況考慮：
①當m＜2時，a^m+b^m＞c^m（sin²A+cos²A）=c^m；
②當m=2時，a^m+b^m=c^m；
②當m＞2時，sin^mA+cos^mA＜sin²A+cos²A=1，此時a^m+b^m＜c^m（sin²A+cos²A）=c^m．

點評：此題考查了余弦定理，以及基本不等式的運用，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵．