Question

設是各項均為非零實數的數列的前項和，給出如下兩個命題上：

命題：是等差數列；命題：等式對任意（）恒成立，其中是常數。

⑴若是的充分條件，求的值；

⑵對于⑴中的與，問是否為的必要條件，請說明理由；

⑶若為真命題，對于給定的正整數（）和正數M，數列滿足條件，試求的最大值。

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）是，證明見解析；（3）．

【解析】

試題分析：（1）是等差數列，和可以用裂項相消法求出，等式就變為關于的恒等式，利用恒等式的知識可求出；（2）等式對任意（）恒成立，等式左邊是一個和式，相當于一個新數列的前項和，處理方法是把式子中的用代換后，兩式相減，本題中得到，這個式子可整理為，這是關于的恒等式，因此

，即，　這就說明為等差數列，得證，解題時還要注意對的初始值是否成立；（3）已知條件為等差數列中，要求的最大值，為了能對數列進行處理，我們利用三角換元法，對已知條件變換，設設，（），這樣數列的公差就可求出，從而也就能求出前項和，，再利用三角函數的最大值為，就能求出的最大值．

試題解析：(1)設的公差為，則原等式可化為

，所以，

即對于恒成立，所以．     4分

（2）當時，假設為的必要條件，即“若①對于任意的（）恒成立，則為等差數列”，

當時，顯然成立，          6分

當時，②，由①－②得：，

即③，

當時，，即成等差數列，

當時，④，由③④得，所以為等差數列，即是的必要條件．          10分

（3）由，可設，所以．

設數列的公差為，則，所以，

所以，

，

所以的最大值為．          16分

考點：（1）等差數列的性質；（2）等差數列的證明；（3）的最大值問題．