Question

設S_n是各項均為非零實數的數列{a_n}的前n項和，給出如下兩個命題上：命題p：{a_n}是等差數列；命題q：等式

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

kn+b

a1an+1

對任意n（n∈N^*）恒成立，其中k，b是常數．
（1）若p是q的充分條件，求k，b的值；
（2）對于（1）中的k與b，問p是否為q的必要條件，請說明理由；
（3）若p為真命題，對于給定的正整數n（n＞1）和正數M，數列{a_n}滿足條件

a

21

+

a

2n+1

≤M，試求S_n的最大值．

Answer 1

（1）設{a_n}的公差為d，則原等式可化為

1

d

（

1

a1

-

1

a2

+

1

a2

-

1

a3

+…+

1

an

-

1

an+1

）=

kn+b

a1an+1

，
所以

1

d

•

nd

a1an+1

=

kn+b

a1an+1

，
即（k-1）n+b=0對于n∈N^*恒成立，所以k=1，b=0．…（4分）
（2）當k=1，b=0時，假設p是q的必要條件，即“若

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

n

a1an+1

①對于任意的n（n∈N^*）恒成立，則{a_n}為等差數列”．
當n=1時，

1

a1a2

=

1

a1a2

顯然成立．…（6分）
當n≥2時，若

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

an-1an

=

n-1

a1an+1

②，
由①-②得，

1

anan+1

=

1

a1

（

n

an+1

-

n-1

an

），即na_n-（n-1）a_n+1=a₁③．
當n=2時，a₁+a₃=2a₂，即a₁、a₂、a₃成等差數列，
當n≥3時，（n-1）a_n-1-（n-2）a_n=a₁④，即2a_n=a_n-1+a_n+1．所以{a_n}為等差數列，即p是q的必要條件．…（10分）
（3）由

a

21

+

a

2n+1

≤M，可設a₁=rcosθ，a_n+1=rsinθ，所以r≤

M

．
設{a_n}的公差為d，則a_n+1-a₁=nd=rsinθ-rcosθ，
所以d=

rsinθ-rcosθ

n

，
所以a_n=rsinθ-

rsinθ-rcosθ

n

，
S_n=

(a1+an)n

2

=

(n+1)cosθ+(n-1)sinθ

2

r≤

(n+1)2+(n-1)2

2

•

M

=

2

2

M(n2+1)

，
所以S_n的最大值為

2

2

M(n2+1)

…（16分）