Question

（本小題滿分13分）
在數列{a_n}中，a₁=1，a_n=n²[1+++…+] （n≥2，n∈N）
（1）當n≥2時，求證：=
（2）求證：（1+）（1+）…（1+）<4

Answer 1

（1）利用
得到。
（2）當時，

 
驗證，當時， ，綜上所述，對任意，不等式都成立．

解析試題分析：（1）當時， ……………………1分
所以…………………4分
故 …………………………………………………………5分
（2）當時，……6分
……8分
……10分
 ………………………11分
當時， ……………………………………………………………12分
綜上所述，對任意，不等式都成立．……………………………………13分
考點：本題主要考查數列“裂項相消法”求和，“放縮法”證明不等式。
點評：中檔題，涉及數列的不等式證明問題，往往需要先求和、再證明。本題（2）利用“裂項相消法”求得“數列的和”，利用放縮法，達到證明目的。易錯忽視n=1的驗證。