Question

【題目】某種零件的質量指標值以分數(滿分100分)衡量，并根據分數的高低劃分三個等級，如下表:

為了監控某種零件的一條生產線的生產過程，檢驗員隨機抽取了100件零件，進行質量指標值檢查，將檢查結果進行整理得到如下的頻率分布直方圖:

(1)若該生產線的質量指標值要求為:

第一條:生產線的質量指標值合格和優秀的零件至少要占全部零件的75％，

第二條:生產線的質量指標值平均分不低于95分；

如果同時滿足以上兩條就認定生產線的質量指標值合格，否則為不合格，請根據以上抽樣調查數據，判斷該生產線的質量指標值是否合格?

(2)在樣本中，按質量指標值的等級用分層抽樣的方法從質量指標值不合格和優秀的零件中抽取5件，再從這5件中隨機抽取2件，求這兩件的質量指標值恰好一個不合格一個優秀的概率

Answer 1

【答案】（1）可以判斷該生產線的質量指標值是不合格的，詳見解析（2）

【解析】

（1）根據頻率分布直方圖，計算出生產線的質量指標值合格和優秀的零件所占比例的估計值和生產線的質量指標值平均分，然后進行判斷；（2）先利用分層抽樣的特點，得到所抽取出的5件零件中不合格和優秀的數量，然后將5件中隨機抽取2件的情況全部列出，根據古典概型的公式，得到答案.

(1)根據抽樣調查數據，生產線的質量指標值合格和優秀的零件所占比例的估計值為:

(0.100+0.150+0.125+0.025)×2=0.80,

因為0.80＞0.75，所以滿足生產線質量指標值要求的第一條;

生產線的質量指標值平均分約為:

(89×0.025+91×0.075+93×0.100+95×0.150+97×0.125+99×0.025)×2=94.4,

因為94.4＜95，所以不滿足生產線質量指標值要求的第二條;

綜上，可以判斷該生產線的質量指標值是不合格的.

(2)由頻率分布直方圖可知，不合格、優秀的頻率分別為0.2，0.3，

故在樣本中用分層抽樣方法從質量指標值不合格和優秀的零件中抽取5件零件，質量指標值不合格的有2件，設為甲、乙，優秀的有3件，設為A，B，C。從這5件零件中隨機抽取2件，有:

甲乙，甲A，甲B，甲C，乙A，乙B，乙C，AB，AC，BC，共10種，

其中恰好一個不合格一個優秀的有:甲A，甲B，甲C，乙A，乙B，乙C共6種

所以這兩件的質量指標值恰好一個不合格一個優秀的概率P＝