Question

選做題：
設集合A={x|x²-5x+4＞0}，B={x|x²-2ax+（a+2）=0}，若A∩B≠∅，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：先化簡集合A，根據A∩B≠∅，可知方程x²-2ax+（a+2）=0有解，且至少有一解在區間（-∞，-1）∪（4，+∞）內，直接求解情況比較多，考慮補集即可．

解答：解：A={x|x²-5x+4＞0}={x|x＜1或x＞4}．
∵A∩B≠∅，
∴方程x²-2ax+（a+2）=0有解，且至少有一解在區間（-∞，1）∪（4，+∞）內
直接求解情況比較多，考慮補集
設全集U={a|△≥0}=（-∞，-1]∪[2，+∞），P={a|方程x²-2ax+（a+2）=0的兩根都在[1，4]內}
記f（x）=x²-2ax+（a+2），且f（x）=0的兩根都在[1，4]內
∴

△≥0 f(1)≥0 f(4)≥0 1＜a＜4

，∴

a≤-1或a≥2 3-a≥0 18-7a≥0 1＜a＜4

，∴2≤a≤

18

7

，∴P=[2，

18

7

]
∴實數a的取值范圍為(-∞，-1)∪(

18

7

，+∞)．

點評：本題以集合為載體，考查集合之間的關系，考查函數與方程思想，解題的關鍵是利用補集思想，合理轉化．