Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的最大值與最小值；

（Ⅱ）討論方程的實(shí)根的個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】(1) 最小值是,最大值是;(2) 時(shí)，方程有1個(gè)實(shí)根； 時(shí)，方程有3個(gè)實(shí)根.

【解析】試題分析：(1) ,明確函數(shù)的單調(diào)性，求出極值與端點(diǎn)值，比較后得最值；（2）方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)即的圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，分類討論函數(shù)的單調(diào)性，借助極值與0的關(guān)系確定交點(diǎn)個(gè)數(shù).

試題解析：

（Ⅰ）因?yàn)?/span>，

所以，

令得， 的變化如下表：

在上的最小值是，

因?yàn)?/span>，

所以在上的最大值是.

（Ⅱ），

所以或，

設(shè)，則， 時(shí)， ， 時(shí)， ，

所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)， ，

且，

（ⅰ）當(dāng)時(shí)，即時(shí)， 沒有實(shí)根，方程有1個(gè)實(shí)根；

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，即時(shí)， 有1個(gè)實(shí)根為零，方程有1個(gè)實(shí)根；

（ⅲ）當(dāng)時(shí)，即時(shí)， 有2不等于零的實(shí)根，方程有3個(gè)實(shí)根.

綜上可得， 時(shí)，方程有1個(gè)實(shí)根； 時(shí)，方程有3個(gè)實(shí)根.