Question

【題目】在△ABC中，內角A，B，C對應的邊分別為a，b，c（a≤b≤c），且bcosC+ccosB=2asinA． （Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）求證： ；
（Ⅲ）若a=b，且BC邊上的中線AM長為 ，求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵bcosC+ccosB=2asinA， ∴sinBcosC+sinCcosB=2sinAsinA，
即sin（B+C）=2sinAsinAsinA=2sinAsinA，
∵sinA＞0，∴sinA= ，
∵a≤b≤c，
∴0＜A≤ ，
∴A= ；
（Ⅱ）∵a2﹣（2﹣ ）bc=b2+c2﹣2bccos ﹣（2﹣ ）bc=b2+c2﹣2bc=（b﹣c）2≥0，
∴a2≥（2﹣ ）bc；
（Ⅲ）由a=b及（Ⅰ）知A=B= ，
∴C= ，
設AC=x，則MC= x，
又AM= ，
在△AMC中，由余弦定理得AC2+MC2﹣2ACMCcosC=AM2 ，
即x2+（ ）2﹣2x cos120°=7，
解得：x=2，
則S△ABC= x2sin = ．
【解析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化簡，利用兩角和與差的正弦函數公式及二倍角的正弦函數公式化簡，再利用誘導公式化簡求出sinA的值，即可確定出A的度數；（Ⅱ）表示出所證不等式左右兩邊之差，利用余弦定理及完全平方公式性質化簡，判斷差的正負即可得證；（Ⅲ）由a=b，得到A=B，求出C的度數，在三角形AMC中，由AM的長與cosC的值，求出AC的長，利用三角形面積公式求出三角形ABC面積即可．
【考點精析】本題主要考查了余弦定理的定義的相關知識點，需要掌握余弦定理:;;才能正確解答此題．