Question

如圖，Rt△ABC中，C=90°，A=30°，圓O經過B、C且與AB、AC相交于D、E．若AE=EC=2

3

，則AD=

 

，圓O的半徑r=

 

．

Answer 1

分析：求解本題應綜合利用題設中所給的條件來研究其它未知邊的長度與未知角的大小，再由圓中的相關定理建立關于AD，半徑的方程求解，由題設中條件在直角三角形ACB中，AC長度已知，三角度數已知，故可以解出AC，AB的長度，再由切割線定理建立等式即可求出AD的長度，又由角C是直角，可知線段BE是直徑，故可由勾股定理求得線段BE的長度，由此半徑已知．

解答：解：Rt△ABC中，C=90°，A=30°，AE=EC=2

3

知
B=60°，AB=8，BC=4
由切割線定理知AD*AB=AE*AC，即AD×8=2

3

×4

3

解得AD=3
連接BE，由題設條件知，BE是圓的直徑，
在直角三角形BCE中，由勾股定理得BE=

(2 3) 2+42

=2

7

故圓的半徑為

7

故答案為：3；

7

點評：本題考點是與圓有關的比例線段，考查綜合利用圓中的公式定理來求解圓中角的大小，線段的長度等問題，其所用的知識主要有圓的切割線定理以及同弦所對圓周角與圓心角的關系，勾股定理等，平面幾何題求解時無一定規律，對利用所給的條件靈活選擇知識與方法解題的能力要求較高．