Question

【題目】已知橢圓:,過橢圓右焦點的最短弦長是,且點在橢圓上.

（1）求該橢圓的標準方程;

（2）設動點滿足:,其中,是橢圓上的點,直線與直線的斜率之積為,求點的軌跡方程并判斷是否存在兩個定點、,使得為定值？若存在,求出定值;若不存在,說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）答案見解析

【解析】

（1）因為橢圓:,過橢圓右焦點的最短弦長是,可得.點在橢圓上,可得,即可求得答案;

（2）設,,,則由得:,即,.點,在橢圓上,結合已知,即可求得答案.

（1）橢圓：,過橢圓右焦點的最短弦長是

,即①

點在橢圓上

即 ②

由①②解得: ,

化簡可得:

解得,,,

橢圓的標準方程為：.

（2）設,,,則由

得:,

即,.

點,在橢圓上,

,,

故

,

設,分別為直線,的斜率,

由題設條件知:,可得,

,

點是橢圓上的點,設該橢圓的左、右焦點為點,,

使得為定值.