Question

設f(x)＝2x³＋ax²＋bx＋1的導數為f′(x)，若函數y＝f′(x)的圖象關于直線x＝－對稱，且f′(1)＝0.
（1）求實數a，b的值；
（2）求函數f(x)的極值．

Answer 1

（1）a＝3.  b＝－12.（2）函數f(x)在x₁＝－2處取得極大值f(－2)＝21，在x₂＝1處取得極小值f(1)＝－6.

解析試題分析：（1）先求出的導函數f′(x)=，由函數y＝f′(x)的圖象關于直線x＝－對稱及二次函數的性質求出，再由f′(1)＝0求出；（2）將（1）中的值代入導函數中，利用導函數研究函數的單調性，根據單調性及極值的有關知識求出的極值.
試題解析：（1）由題知f′(x)= ，
由函數y＝f′(x)的圖象關于直線x＝－對稱得，，解得a＝3，
由f′(1)＝0即解得b＝－12. 所以a＝3.  b＝－12.      6分
（2）由（1）知a＝3， b＝－12，所以f′(x)= =，
當＜-2或＞1時，＞0，當-2＜＜1時，＜0，所以單調增區間為（-，-2），（1，+），單調減區間為（-2,1），所以函數f(x)在x₁＝－2處取得極大值f(－2)＝21，
在x₂＝1處取得極小值f(1)＝－6.       12分
考點:常見函數的導數，導數的運算法則，二次函數的對稱性，函數的極值