Question

已知函數(shù)f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1（k∈R）．
（1）若k=2，求以M（2，f（2））為切點(diǎn)的曲線的切線方程；
（2）若函數(shù)f（x）≤0恒成立，確定實(shí)數(shù)K的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在x=2處的導(dǎo)數(shù)，得到切線的斜率，然后根據(jù)點(diǎn)斜式可得切線方程；
（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值，使最大值小于等于0，可求出k的取值范圍；

解答：解：（1）當(dāng)k=2時，f（x）=ln（x-1）-2x+3
∴f′(x)=

1

x-1

-2，則f′（2）=-1即k=-1
∴切線方程為x+y-1=0；
（2）f′(x)=

1

x-1

-k=0得x=1+

1

k

當(dāng)k≤0時，f′（x）＞0函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，f（x）≤0不恒成立，
當(dāng)k＞0時，函數(shù)f（x）在(1，1+

1

k

)單調(diào)遞增，在(1+

1

k

，+∞)單調(diào)遞減，
當(dāng)x=1+

1

k

時，f（x）取最大值，f(1+

1

k

)=ln

1

k

≤0
∴k≥1

點(diǎn)評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，同時考查了轉(zhuǎn)化的思想和計(jì)算的能力，屬于中檔題．