Question

設(shè)函數(shù)f（x）=alnx+

1

x

-a，（a∈R）．
（1）當(dāng)a＞0時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）在（1）中，若函數(shù)f（x）的最小值恒小于e^k+1，求實數(shù)k的取值范圍；
（3）當(dāng)a＜0時，設(shè)x₁＞0，x₂＞0，且x₁≠x₂，試比較f（

x1+x2

2

）與

f(x1)+f(x2)

2

的大小．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由題意x＞0，f′(x)=

a

x

-

1

x2

，由此能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）當(dāng)x=

1

a

時，函數(shù)f（x）的最小值為f（

1

a

）=-alna，令g（a）=-alna，由g′（a）=-（lna+1）=0，得a=

1

e

．由此能求出實數(shù)k的取值范圍．
（3）由已知條件推導(dǎo)出f(

x1+x2

2

)-

f(x1)+f(x2)

2

=aln

x1+x2

2

+

2

x1+x2

-aln

x1x2

-

x1+x2

2x1x2

=aln

x1+x2

2 x1x2

-

(x1-x2)2

2x1x2(x1+x2)

，由此能求出f（

x1+x2

2

）＜

f(x1)+f(x2)

2

．

解答： （本小題滿分12分）
解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）．…（1分）
由題意x＞0，f′(x)=

a

x

-

1

x2

，…（2分）
由f′（x）＜0，得

a

x

-

1

x2

＜0，解得x＜

1

a

，
函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，

1

a

）．
由f′（x）＞0，得

a

x

-

1

x2

＞0，解得x＞

1

a

，
函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（

1

a

，+∞）． …（4分）
（2）由（1）知，當(dāng)x=

1

a

時，
函數(shù)f（x）的最小值為f（

1

a

）=aln

1

a

+a-a=-alna，
令g（a）=-alna，由g′（a）=-（lna+1）=0，∴a=

1

e

．
當(dāng)0＜a＜

1

e

，g′（a）＞0，a＞

1

e

，g′ (a)＜0，
∴g(a)min =g（

1

e

）=

1

e

．
∴由

1

e

＜ek+1，得k＞-2．
∴實數(shù)k的取值范圍（-2，+∞）．…（7分）
（3）∵f(

x1+x2

2

)=aln

x1+x2

2

+

2

x1+x2

-a，

f(x1)+f(x2)

2

=

1

2

(alnx1+

1

x1

+alnx2+

1

x2

)-a
=

1

2

[aln（x₁x₂）+

x1+x2

x1x2

]-a
=aln

x1x2

+

x1+x2

2x1x2

-a．
∴f(

x1+x2

2

)-

f(x1)+f(x2)

2

=aln

x1+x2

2

+

2

x1+x2

-aln

x1x2

-

x1+x2

2x1x2

=aln

x1+x2

2 x1x2

-

(x1-x2)2

2x1x2(x1+x2)

．…（10分）
∵x₁＞0，x₂＞0，且x₁≠x₂，a＜0，
∴x₁+x₂＞2

x1x2

，∴

x1+x2

2 x1x2

＞1，aln

x1+x2

2 x1x2

＜0．…（11分）
又-

(x1-x2)2

2x1x2(x1+x2)

＜0，∴aln

x1+x2

2 x1x2

-

(x1-x2)2

2x1x2(x1+x2)

＜0，
∴f（

x1+x2

2

）-

f(x1)+f(x2)

2

＜0，
即f（

x1+x2

2

）＜

f(x1)+f(x2)

2

．…（12分）

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查兩個數(shù)的大小的比較，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．