Question

三棱錐A-BCD中, E是BC的中點,AB=AD,BD⊥DC
（I）求證：AE⊥BD；
（II）若，且二面角A-BD-C為,求AD與面BCD所成角的正弦值。

Answer 1

解：（I）如圖取BD的中點F，連EF,AF，
∵E為BC中點，F為BD中點，
∴FE∥DC.   
又BD⊥DC,∴BD⊥FE.  
∵AB=AD ∴BD⊥AF
又AF∩FE=F，AF,FE面AFE
∴BD⊥面AFE  AE面AFE
∵AE⊥BD，∴BD⊥FE
（II）由（I）知BD⊥AF,
∴∠AFE即為二面角A-BD-C的平面角   
∴∠AFE=60° ∵AB=AD==2,
∴△ABD為等腰直角三角形，故
又，
∴ 
 即∴AE²+FE²=1=AF²∴AE⊥FE
又由(1)知BD⊥AE且BD∩FE=F,BD面BDC,FE面BDC
∴AE⊥平面BDC
∴∠ADE就是AD與面BCD所成角 ，    
在中，，∴.                    
AD與面BDC所成角的正弦值為