Question

（本題14分）已知函數f （x） = ax³ +x² -ax，其中a，x∈R．

（Ⅰ）若函數f （x） 在區間（1，2）上不是單調函數，試求a的取值范圍；

（Ⅱ）直接寫出（不需給出運算過程）函數的單調遞減區間；

（Ⅲ）如果存在a∈（-∞，-1]，使得函數， x∈[-1, b]（b > -1），在x = -1處取得最小值，試求b的最大值．

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）解法一：

依題意知方程在區間（1，2）內有不重復的零點，

由得 

∵x∈（1，2），  ∴

∴；

令   （x∈（1，2）），則，

∴在區間（1，2）上是單調遞增函數，其值域為，

故a的取值范圍是．             ………………………5分

解法二：

依題意知方程即在區間（1，2）內有不重復的零點，

當a=0時，得 x=0，但0（1，2）；

當a≠0時，方程的△=1+12a²>0，,必有兩異號根，

欲使f （x） 在區間（1，2）上不是單調函數，方程在（1，2）內一定有一根，設，則F（1）·F（2）<0，

即  （2a+2）（11a+4）<0，解得 ，

故 a的取值范圍是 ．     

（解法二得分標準類比解法一）

（Ⅱ）函數g （x） 的定義域為（0，+∞），

當 a≥0時，g （x）在（0，+∞）上單調遞增，無單調遞減區間；

當 a<0時，g （x）的單調遞減區間是  ………………8分

（Ⅲ）；

依題意 在區間[-1, b]上恒成立，

即      ①

當x∈[-1, b] 恒成立，

當 x=-1時，不等式①成立；

當 -1< x ≤b時，不等式①可化為

    ②

令 ，由a∈（-∞,-1]知，的圖像是

開口向下的拋物線，所以，在閉區間上的最小值必在區間的端點處取得，

而，

∴不等式②恒成立的充要條件是，

即，

亦即   a∈（-∞,-1]；

當a∈（-∞,-1]時，，

∴  （b >-1），  即 b²+b-4 ≤ 0；

解得 ；

但b >-1， ∴；

故 b的最大值為，此時 a =-1符合題意．     ……………14分

【解析】略