已知函數
是R上的奇函數，當
時
取得極值
.
(I)求的單調區間和極大值
(II)證明對任意
不等式
恒成立.
(Ⅰ)單增區間
，單減區間
，極大值
；(Ⅱ)見解析.
解析試題分析：(Ⅰ)根據奇函數的定義可知
，由此解得
，由已知條件“當時取得極值”可得
以及
，聯立方程組解得
，寫出函數的解析式為
，然后對函數
求導，利用函數的單調性與導數的關系判斷函數在實數集R上的單調性，并由此得到函數在
處取得極大值；(Ⅱ)根據函數在區間
是單調遞減的，可知函數在區間上的極大值
和極小值
，從而由對任意的
都有不等式
成立，即得結論.
試題解析：(Ⅰ)由奇函數的定義，有，
即
，∴.
因此
，
，
由條件為的極值，必有.
故
，解得. 4分
因此， ，
，
.
當
時，
，故在單調區間
上是增函數；
當
時，
，故在單調區間上是減函數；
當
時，，故在單調區間
上是增函數.
∴函數在處取得極大值，極大值為. 8分
(Ⅱ)由(I)知，
是減函數，
且在
上的最大值
在上的最小值
∴對任意
恒有
12分
考點：1.求函數的解析式；2.利用導數研究函數的單調性；3.利用導數研究函數的極值；4.解不等式；5.奇函數的性質
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，某自來水公司要在公路兩側排水管，公路為東西方向，在路北側沿直線
排水管，在路南側沿直線
排水管（假設水管與公路的南，北側在一條直線上且水管的大小看作為一條直線），現要在矩形區域ABCD內沿直線EF將與接通．已知AB = 60m，BC = 60
m，公路兩側排管費用為每米1萬元，穿過公路的EF部分的排管費用為每米2萬元，設EF與AB所成角為
．矩形區域內的排管費用為W．
（1）求W關于的函數關系式；
（2）求W的最小值及相應的角．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，某小區有一邊長為2（單位：百米）的正方形地塊OABC，其中OAE是一個游泳池，計劃在地塊OABC內修一條與池邊AE相切的直路
（寬度不計），切點為M，并把該地塊分為兩部分．現以點O為坐標原點，以線段OC所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，若池邊AE滿足函數
的圖象，且點M到邊OA距離為
．
（1）當
時，求直路所在的直線方程；
（2）當
為何值時，地塊OABC在直路不含泳池那側的面積取到最大，最大值是多少？
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，某自來水公司要在公路兩側鋪設水管，公路為東西方向，在路北側沿直線鋪設線路l1，在路南側沿直線鋪設線路l2，現要在矩形區域ABCD內沿直線將l1與l2接通．已知AB = 60m，BC = 80m，公路兩側鋪設水管的費用為每米1萬元，穿過公路的EF部分鋪設水管的費用為每米2萬元，設∠EFB= α,矩形區域內的鋪設水管的總費用為W．
（1）求W關于α的函數關系式；
（2）求W的最小值及相應的角α．
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的一個極值點，
時，證明：
是函數
的一個極值點.
與
的關系式（用
的單調遞增區間；
,若存在
使得
成立，求實數
，
. 
時，求
在
處的切線方程；
在
內單調遞增，求
的取值范圍.
．
時，求函數
的單調區間；
時，不等式
恒成立，求實數
的取值范圍．
（
，e是自然對數的底數）.
，其中
，
．
的最小值為
，試判斷函數
的零點個數，并說明理由；
的取值范圍．