Question

現有一塊棱長為a的正方體形的木料，如圖，M、N、P分別為AD、CD、BB₁的中點．現要沿過M、N、P三點的平面將木料鋸開．
（1）求作鋸面與平面AA₁C₁C的交線GH，其中G、H分別在C₁C、AA₁上（寫出作圖過程即可，不必證明），并說明GH與平面ABCD的關系，然后給出證明．
（2）若Q為C₁D₁的中點．求點P到平面MNQ的距離．

Answer 1

分析：（1）設MN與BC的延長線相交于點F，連PF與CC₁相交于點G，設NM與BA的延長線相交于點E，連PE與AA₁相交于點H，連GH，
直線GH即為平面MNP與平面AA₁C₁C的交線，欲證GH∥平面ABCD，根據比例關系可知GH∥EF又GH?平面ABCD，EF?平面ABCD，滿足線面平行的判定定理所需條件；
（2）先證明BB₁∥平面MNQ，得到點P到平面MNQ的距離等于點B到平面MNQ的距離，設BD∩MN=T，根據面面垂直的性質可知BT⊥平面MNQ，從而點P到平面MNQ的距離為BT=

3

4

BD．

解答：解：（1）設MN與BC的延長線相交于點F，連PF與CC₁相交于點G，設NM與BA的延長線相交于點E，連PE與AA₁相交于點H，連GH，
直線GH即為平面MNP與平面AA₁C₁C的交線，（2分）
GH∥平面ABCD，下面給出證明．（3分）
∵CG∥BP∴FG：GP=FC：CB
同理可證EH：HP=EA：AB
∵AC∥EF∴FC：CB=EA：AB
∴FG：GP=EH：HP
∴GH∥EF又GH?平面ABCD，EF?平面ABCD
∴GH∥平面ABCD（6分）
（2）∵BB₁∥QN，BB₁?平面MNQ，NQ⊆平面MNQ，
∴BB₁∥平面MNQ，（7分）
∴點P到平面MNQ的距離等于點B到平面MNQ的距離．（9分）
設BD∩MN=T．∵平面MNQ⊥平面ABCD，∴由BT⊥MN得BT⊥平面MNQ，（10分）
∴點P到平面MNQ的距離為BT=

3

4

BD=

3

4

2

a．（12分）

點評：本題主要考查了直線與平面平行的判定，以及點到平面的距離的求解，同時考查了作圖的能力、分析問題解決問題的能力，轉化與劃歸的思想，屬于中檔題．