Question

19．設函數f（x）在R上存在導函數f′（x），?x∈R，都有f（x）+f（-x）=x²，在x＞0時，f′（x）＜x，若f（4-m）-f（m）≥8-4m，則實數m的取值范圍為（　　）

• A． [-2，2]
• B． [2，+∞）
• C． [0，+∞）
• D． （-∞，-2]∪[2，+∞）

Answer 1

分析 構造函數g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²，由g（-x）+g（x）=0，可得函數g（x）為奇函數．利用導數可得函數g（x）在R上是減函數，結合函數的單調性解不等式即可．

解答 解：令g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²，
∵g（-x）+g（x）=f（-x）-$\frac{1}{2}$x²+f（x）-$\frac{1}{2}$x²=0，
∴函數g（x）為奇函數．
∵x∈（0，+∞）時，g′（x）=f′（x）-x＜0，
故函數g（x）在（0，+∞）上是減函數，故函數g（x）在（-∞，0）上也是減函數，
由f（0）=0，可得g（x）在R上是減函數，
∴f（4-m）-f（m）=g（4-m）+$\frac{1}{2}$（4-m）²-g（m）-$\frac{1}{2}$m²=g（4-m）-g（m）+8-4m≥8-4m，
∴g（4-m）≥g（m），
∴4-m≤m，解得：m≥2，
∴實數m的取值范圍[2，+∞），
故選B．

點評 本題主要考查函數的奇偶性、單調性的應用，體現了轉化的數學思想，構造函數利用導數研究函數的單調性是解決本題的關鍵．屬于中檔題．