Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1  (a＞0，b＞0)經過點A(

3 5

5

，

4 5

5

)，其漸近線方程為y=±2x．
（1）求雙曲線的方程；
（2）設F₁，F₂是雙曲線的兩個焦點，證明：AF₁⊥AF₂．

Answer 1

分析：（1）根據題意，雙曲線C的一條漸近線方程為 y=±2x，將點C坐標代入方程，列出關于a，b的方程，解出a，b，進而可得答案．
（2）由（1）得，F1(-

5

，0)，F2(

5

，0)，從而以F₁F₂為直徑的圓的方程，再根據點A(

3 5

5

，

4 5

5

)的坐標滿足方程x²+y²=5，得出點A在以F₁F₂為直徑的圓上，最終得出AF₁⊥AF₂．

解答：（1）解：依題意

b a =2 9 5a2 - 16 5b2 =1

…（3分）      
解得 

a=1 b=2.

…（5分）
所以雙曲線的方程為x2-

y2

4

=1．…（6分）
（2）由（1）得，F1(-

5

，0)，F2(

5

，0)，
從而以F₁F₂為直徑的圓的方程是x²+y²=5．…（9分）
因為點A(

3 5

5

，

4 5

5

)的坐標滿足方程x²+y²=5，
故點A在以F₁F₂為直徑的圓上，所以AF₁⊥AF₂．…（12分）

點評：本題考查雙曲線的方程、雙曲線的簡單性質，涉及雙曲線的方程與其漸近線的方程之間的關系，要求學生熟練掌握，注意題意要求是標準方程，答案必須寫成標準方程的形式．