Question

下列四個函數：①f(x)=-

1

x

②f（x）=|x+1|③f(x)=

1

2

(a-x-ax)(0＜a＜1)④y=ln|x|，則同時滿足：f（-x）+f（x）=0且當x₁、x₂∈（0，+∞），都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0的函數個數為（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：由條件可得，本題即判斷所給的各個函數中，同時滿足既是奇函數，又在（0，+∞）上是增函數的函數的個數．逐一檢驗各個選項中的函數，可得結論．

解答：解：由f（-x）+f（x）=0可得，函數f（x）是奇函數；再根據當x₁、x₂∈（0，+∞），都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，
可得函數在（0，+∞）上是增函數．
本題即判斷所給的各個函數中，同時滿足既是奇函數，又在（0，+∞）上是增函數的函數的個數．
對于函數：①f(x)=-

1

x

，顯然滿足既是奇函數又在（0，+∞）上是增函數的函數．
對于②f（x）=|x+1|，由于不是奇函數，故排除．
對于③f(x)=

1

2

(a-x-ax)(0＜a＜1)，顯然滿足既是奇函數，又在（0，+∞）上是增函數的函數．
杜宇④y=ln|x|，由于它是偶函數，故排除．
綜上，只有①③滿足條件，
故選B．

點評：本題主要考查函數的奇偶性和單調性的判斷，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．