Question

（本小題滿分12分）
已知函數。
（Ⅰ）求函數的定義域，并判斷的單調性；
（Ⅱ）若；
（Ⅲ）當（為自然對數的底數）時，設，若函數的極值存在，求實數的取值范圍以及函數的極值。

Answer 1

（Ⅰ）
當
（Ⅱ）
（Ⅲ）時，函數有極值；
當時的極大值為，的極小值為
當時，的極大值為

本小題主要考查函數、數列的極限、導數應用等基礎知識、考查分類整合思想、推理和運算能力。
（Ⅰ）由題意知
當

當
當….（4分）
（Ⅱ）因為
由函數定義域知>0,因為n是正整數，故0<a<1.
所以
（Ⅲ）
令
①      當m=0時，有實根，在點左右兩側均有故無極值
②      當時，有兩個實根
當x變化時，、的變化情況如下表所示：

	+	0	-	0	+
	↗	極大值	↘	極小值	↗

的極大值為，的極小值為
③      當時，在定義域內有一個實根， 
同上可得的極大值為
綜上所述，時，函數有極值；
當時的極大值為，的極小值為
當時，的極大值為