Question

某公司生產的A型商品通過租賃柜臺進入某商場銷售．第一年，商場為吸引廠家，決定免收該年管理費，因此，該年A型商品定價為每件70元，年銷售量為11.8萬件．第二年，商場開始對該商品征收比率為p%的管理費（即銷售100元要征收p元），于是該商品的定價上升為每件

70

1-p%

元，預計年銷售量將減少p萬件．
（1）將第二年商場對該商品征收的管理費y（萬元）表示成p的函數，并指出這個函數的定義域；
（2）要使第二年商場在此項經營中收取的管理費不少于14萬元，則商場對該商品征收管理費的比率p%的范圍是多少？
（3）第二年，商場在所收管理費不少于14萬元的前提下，要讓廠家獲得最大銷售金額，則p應為多少？

Answer 1

（1）依題意，第二年該商品年銷售量為（11.8-p）萬件，年銷售收入為

70

1-p%

（11.8-p）萬元，?
則商場該年對該商品征收的總管理費為

70

1-p%

（11.8-p）p%（萬元）．故所求函數為：y=

7

100-p

（118-10p）p．
11.8-p＞0及p＞0得定義域為0＜p＜

59

5

．
（2）由y≥14，得

7

100-p

（118-10p）p≥14．?化簡得p²-12p+20≤0，即（p-2）（p-10）≤0，解得2≤p≤10．?
故當比率在[2%，10%]內時，商場收取的管理費將不少于14萬元．
（3）第二年，當商場收取的管理費不少于14萬元時，
廠家的銷售收入為g（p）=

70

1-p%

（11.8-p）（2≤p≤10）．
∵g（p）=

70

1-p%

（11.8-p）=700（10+

882

p-100

）為減函數，?
∴g（p）_max=g（2）=700（萬元）．?
故當比率為2%時，廠家銷售金額最大，且商場所收管理費又不少于14萬元