Question

（本小題滿分14分）
某漁業公司年初用98萬元購買一艘捕魚船，第一年各種支出費用12萬元，以后每年都增加
4萬元，每年捕魚收益50萬元．
（1）該公司第幾年開始獲利？
（2）若干年后，有兩種處理方案：
①年平均獲利最大時，以26萬元出售該漁船；
②總純收入獲利最大時，以8萬元出售漁船．
問哪種處理方案最合算?

Answer 1

（1）該公司從第三年開始獲利．（2）第一種方案更合算．

（Ⅰ）每年費用是以12為首項，4為公差的等差數列，第n年時累計的純收入f（n）=50n-[12+16+…+（4n+8）]-98，獲利為f（n）＞0，解得n的值，可得第幾年開始獲利；
（Ⅱ）計算方案①年平均獲利最大時及總收益；方案②總純收入獲利最大時及總收益；比較兩種方案，總收益相等，第一種方案需7年，第二種方案需10年，應選擇第一種方案．
（1）設第年的純收入為.
由題設知每年的費用是以12為首項，4為公差的等差數列，
故前年的費用總和為，………………3分
前年的收入總和為，
則=50n－（）－98=．
由 >0 10－<n<10+…………………6分
又∵n∈N,    ∴n=3,4，…，17．即該公司從第三年開始獲利．………………7分
（2）①年平均收入為
所以當n＝7時，年均獲利最大，此時出售所得總收益為12×7＋26＝110（萬元）．………10分
②  ∴當n＝10時，．
即總純收入最大，此時出售所得總收益為102＋8＝110萬元，………………………13分
∵7＜10．　∴第一種方案更合算．……………………14分