Question

（1）若關于x的不等式tx²-6x+t²＜0的解集（-∞，a）∪（1，+∞），求a的值．
（2）如果不等式（m+1）x²+2mx+m+1＞0對任意實數x都成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用不等式的解集與方程根之間的關系，確定a，1是方程tx²-6x+t²=0的兩根，且a＜1，再利用根與系數的關系，即可求得a的值；
（2）當m+1=0時，經檢驗不滿足條件．當m≠0時，由題意可得-2x＞0不成立，從而得出結論．

解答：解：（1）∵tx²-6x+t²＜0的解集是（-∞，a）∪（1，+∞）
∴t＜0
x=1代入得t-6+t²=0
解得：t=-3或t=2（舍去）
∵a•1=t=-3
a=-3

(2)∵不等式(m+1)x2+2mx+m+1＞0對任意實數都成立 ∴當m+1≠0時，△=4m2-4(m+1)2＜0 ∴m＞- 1 2 當m+1=0時，-2x＞0不成立 故m＞- 1 2

點評：本題考查不等式的解集和函數的恒成立問題，考查根與系數關系的運用，利用不等式的解集與方程根之間的關系是解題的關鍵，體現了分類討論的數學思想．