Question

已知函數f（x）=log₂

x-1

x+1

，g（x）=2ax+1-a，又h（x）=f（x）+g（x）
（1）求函數f（x）的定義域；（2）試討論h（x）的奇偶性；
（3）若關于x的方程f（x）=log₂g（x）有兩個不等實數根，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據讓函數解析式有意義的原則，結合對數函數真為大于0，構造關于x的不等式，解不等式可得答案．
（2）根據已知可分a=1和a≠1時兩種情況，分別討論h（-x）+h（x）與h（-x）-h（x）與0的關系，進而根據函數奇偶性的定義可得答案
（3）方程f（x）=log₂g（x）有兩個不等實數根，即

x-1

x+1

=2ax+1-a在（-∞，-1）∪（1，+∞）上有兩個不等的根，即a=-

2

2x2+x+1

在（-∞，-1）∪（1，+∞）上有兩個不等的根，借助函圖象易分析出a的取值范圍．

解答：解：（1）要使函數f（x）=log₂

x-1

x+1

的解析式有意義
則

x-1

x+1

＞0
解得x＜-1，或x＞1
即函數f（x）=log₂

x-1

x+1

的定義域為（-∞，-1）∪（1，+∞），
（2）當a=1時，h（x）=f（x）+g（x）=log₂

x-1

x+1

+2x，
∵h（-x）+h（x）=0，
∴h（x）為奇函數；
當a≠1時，h（x）=f（x）+g（x）=log₂

x-1

x+1

+2ax+1-a，
∵h（-2）+h（2）=2-2a≠0
故h（x）為非奇函數
令h（-3）-h（3）=12a-2=0，則a=

1

6

此時，h（-2）-h（2）≠0
故h（x）為非偶函數
綜上h（x）既不是奇函數又不是偶函數；
（3）f（x）=log₂g（x）有兩個零點等價于

x-1

x+1

=2ax+1-a在（-∞，-1）∪（1，+∞）上有兩個不等的根；
即a=-

2

2x2+x-1

在（-∞，-1）∪（1，+∞）上有兩個不等的根；
由y=-

2

2x2+x-1

在（-∞，-1）∪（1，+∞）上的圖象可得

a的取值范圍-1＜a＜0

點評：本題考查的知識點是函數的零點與方程根的關鍵，函數的定義域，函數的奇偶性，其中（3）中將方程的根轉化為函數圖象與y=a交點的個數，并用圖象法進行解答是轉化思想是解非基本方程是的重要應用．