Question

已知{a_n}是正數組成的數列，a₁=1，且點在函數y=x²+1的圖象上．數列{b_n}滿足b₁=0，b_n+1=b_n+3^a_n（n∈N^*）．
（I）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（II）若c_n=a_nb_ncosnπ（n∈N^*），求數列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題設條件知a_n+1=a_n+1，根據等差數列的定義：{a_n}是首項為1，公差為1的等差數列，從而a_n=n，根據b_n+1=b_n+3^a_n（n∈N^*），可得b_n+1-b_n=3ⁿ（n∈N^*）．累加可求和，從而得{b_n}的通項公式；
 （II）根據c_n=a_nb_ncosnπ（n∈N^*），可得，再分n為偶數，奇數分別求和即可
解答：解：（Ⅰ）因為點（ ）（n∈N*）在函數y=x²+1的圖象上
所以a_n+1=a_n+1
根據等差數列的定義：{a_n}是首項為1，公差為1的等差數列
所以a_n=n
∵b_n+1=b_n+3^a_n（n∈N^*）．
∴b_n+1-b_n=3ⁿ（n∈N^*）．
∴
（II）∵c_n=a_nb_ncosnπ（n∈N^*），
∴
當n為偶數時，S_n=（-3+2•3²+…+n•3ⁿ）+3[1-2+3-4+…+（n-1）-n]
設T_n=（-3+2•3²+…+n•3ⁿ），則3T_n=-3²+2•3³+…+n•3ⁿ⁺¹
∴
∴
當n為奇數時，
∴
點評：本題以函數為載體，考查數列的概念和性質及其應用，，考查錯位相減法求和，解題時要注意公式的靈活運用．